Question

5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，$\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{BD}$，|$\overrightarrow{AD}$|=1，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 运用向量的数量积的定义，结合条件可得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|cos∠DAC，再由诱导公式可得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC，结合三角形ABC中的正弦定理和直角三角形的锐角三角函数的定义，计算即可得到所求值

解答 解：$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=$|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{AC}|cos∠CAD$，
∵|$\overrightarrow{AD}$|=1，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAD，
∵∠BAC=$\frac{π}{2}$+∠DAC，
∴cos∠CAD=sin∠BAC，
$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinBAC}$，变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，
所以$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC=|BC|sinB=|BC|•$\frac{AD}{BD}$=$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，同时考查诱导公式和正弦定理的运用，属于中档题