Question

给出下列命题：
（1）设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
（2）若等比数列的n项s_n=2ⁿ+k，则必有k=-1；
（3）若x∈R⁺，则2^x+2^-x的最小值为2；
（4）曲线

x2

16

-

y2

9

=1与曲线

x2

35-λ

+

y2

10-λ

=1（λ＜35且λ≠10）有相同的焦点；
（5）平面内到定点（3，-1）的距离等于到定直线x+2y-1的距离的点的轨迹是抛物线．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,等差数列与等比数列,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线的定义，即可判断（1）；运用等比数列的通项和求和，即可求出k，判断（2）；
运用基本不等式，注意等号成立的条件，即可判断（3）；讨论λ＜10，10＜λ＜35，求出焦点坐标，即可判断（4）；由抛物线的定义，注意定点不在定直线上，即可判断（5）．

解答： 解：（1）由双曲线的定义可知，到两个定点的距离的差的绝对值为非零常数
（小于两定点的距离）的轨迹是双曲线，故（1）错；
（2）若等比数列的前n项和s_n=2ⁿ+k，则a₁=S₁=2+k，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n＞1），
对n=1也成立，a₁=1，有k=-1，故（2）对；
（3）若x∈R⁺，则2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，由于x＞0，故取不到最小值2，故（3）错；
（4）曲线

x2

16

-

y2

9

=1的焦点为（-5，0），（5，0），
曲线

x2

35-λ

+

y2

10-λ

=1（λ＜35且λ≠10），若λ＜10，则为椭圆，其焦点为（-5，0），（5，0），
若10＜λ＜35，则为双曲线

x2

35-λ

-

y2

λ-10

=1，其焦点为（-5，0），（5，0），故（4）对；
（5）由于定点（3，-1）在定直线x+2y-1上，故轨迹为过定点且垂直于已知直线的一条直线，故（5）错．
故答案为：（2）（4）

点评：本题考查圆锥曲线的定义、方程和性质，考查等比数列的通项和求和，以及基本不等式的运用，属于基础题．