Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，[xf（x）]′＞0（x＞0）则不等式f（x）≥0的解集是

 

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Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：x＞0时，设g（x）=xf（x），得g′（x）＞0，g（x）是增函数；
由题意得x≥1时，xf（x）≥0，即f（x）≥0；0＜x＜1时，f（x）＜0；
由奇函数的对称性得，-1≤x≤0时，f（x）≥0；从而得f（x）≥0的解集．

解答： 解：∵f（x）是定义在R时的奇函数，
∴f（0）=0，且f（-1）=-f（1）=0；
当x＞0时，设g（x）=xf（x），
∵g′（x）=[xf（x）]′＞0，∴g（x）是增函数；
又∵g（1）=1•f（1）=0；
∴x≥1时，xf（x）≥0，
∴f（x）≥0；
∴对于x＞0，在0＜x＜1时，f（x）＜0，x≥1时，f（x）≥0；
由奇函数的对称性得，-1≤x≤0时，f（x）≥0；
综上，f（x）≥0的解集是{x|-1≤x≤0，或x≥1}．
故答案为：[-1，0]∪[1，+∞）．

点评：本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的单调性问题，解题的关键是根据构造函数，判定出x＞0时，f（x）≥0与f（x）＜0的情况，是难题．