Question

沿对角线AC将正方形ABCD折成直二面角后，AB与CD所在的直线所成的角等于（　　）

• A、90°
• B、60°
• C、45°
• D、30°

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角,空间向量及应用

分析：取AC中点O，连接BO，DO，容易说明OB，OC，OD两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，分别求出A，B，C，D点的坐标，根据两向量夹角余弦公式的坐标运算求出向量

AB

，

CD

的夹角，从而求出直线AB，CD所成角．

解答： 解：学生取AC中点O，连接BO，DO，则：BO⊥AC，DO⊥AC；
∵B-AC-D是直二面角，∴∠BOD是该二面角的平面面角；
∴∠BOD=90°，∴DO⊥BO；
∴分别以OB，OC，OD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，并设原正方形边长为1则：
A(0，-

2

2

，0)，D(0，0，

2

2

)，B(

2

2

，0，0)，C(0，

2

2

，0)；
∴

AB

=(

2

2

，

2

2

，0)，

CD

=(0，-

2

2

，

2

2

)；
设向量

AB

，

CD

的夹角为θ，则：cosθ=

AB • CD

| AB || CD|

=

- 1 2

1

=-

1

2

；
∴θ=120°，∴AB与CD所在的直线所成的角等于60°．
故选B．

点评：考查空间直角坐标系，二面角，直二面角，二面角的平面角，向量夹角的余弦公式的坐标运算．