Question

15．定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且对x∈R，恒有f（x-3）≤f（x），则实数a的取值范围为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出函数f（x）的解析式，讨论a的取值，作出函数f（x）的图象，利用图象平移以及数形结合进行求解即可．

解答 解：∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，
∴若x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=|-x-a²|-a²=-f（x），
即f（x）=-|x+a²|+a²，x＜0，
若a=0，则f（x）=x，为增函数，恒有f（x-3）≤f（x），成立，
当a≠0时，函数f（x）的图象如图：
∵f（x-3）的图象可以函数是由函数f（x）的图象向右平移3个单位得到的，
需要函数f（x）的图象至少向左平移2a²-（-2a²）=4a²个单位才能满足f（x-3）≤f（x），恒成立，
则4a²≤3，即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a≠0，
综上-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数奇偶性求出函数的解析式，以及利用分类讨论和数形结合以及图象平移关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．