Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点A₁在底面ABC上的投影D恰好为BC的中点，AA₁与平面ABC所成角为45°，则该三棱柱的体积为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由已知可知，A₁D为三棱柱的高，且求得${A}_{1}D=\sqrt{3}$，再求出底面三角形ABC的面积，则体积可求．

解答 解：如图，△ABC是边长为2的等边三角形．

∵D是点A₁在底面ABC上的投影，∴A₁D⊥底面ABC，
又D是BC中点，连接AD，则AD=$\sqrt{3}$，
又∵AA₁与平面ABC所成角为45°，即∠A₁AD=45°，
∴${A}_{1}D=AD=\sqrt{3}$，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$．
故选：C．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．