Question

如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，已知PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8．
（1）求证：∠AEP=60°；
（2）求BC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,弦切角

专题：立体几何

分析：（1）先依据PA是圆O的切线利用切割线定理求得线段PA的长度，进而求得PE，再利用等边三角形中的边的关系求得：∠AEP=60°．
（2）由（1）求出BE，利用相交弦定理求得线段CE的长．再由∠BEC=60°，利用余弦定理能求出BC的值．

解答： （1）证明：∵PA是圆O的切线，PDB是圆O的割线，
∴PA²=PD•PB，又PD=1，BD=8，
∴PA=3，
又PE=PA，∴PE=3．
∵PA是圆O的切线，∴∠PAE=∠ABC=60°，
又PE=PA，∴△PAE是等边三角形，
∴∠AEP=60°．
（2）解：∵PE=3．∴DE=PE-PD=2，∴BE=BD-DE=6．
由相交弦定理，得AE•CE=BE•DE，∴CE=4．
∵∠BEC=60°，
∴BC=

BE2+CE2-2BE•CE•cos60°

=

36+16-2×6×4× 1 2

=2

7

．

点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切割线定理、相交弦定理、余弦定理的综合运用．