Question

已知向量，，函数f（x）＝，且y＝f（x）的图象过点和点．

（1）求m，n的值；

（2）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间．

 

Answer 1

（1）m＝，n＝1；（2）[kπ－,kπ]，k∈Z.

【解析】试题分析：（1）利用数量积列出等式，利用图象经过已知两点，可解出m，n的值；（2）设出平移后的最高点，利用最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求出最高点的坐标，进而解得平移量，求出单调区间.

试题解析：（1）由题意知，f（x）＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.

因为y＝f（x）的图像过点（）和点（,－2），

所以

即

解得m＝，n＝1.

（2）由（1）知f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝2sin（2x＋）

由题意知，g（x）＝f（x＋φ）＝2sin（2x＋2Φ＋）

设y＝g（x）的图像上符合题意的最高点为（x0，2）．

由题意知，x02＋1＝1，所以x0＝0，

即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．

将其代入y＝g（x）得，sin（2Φ＋）＝1.

因为0<φ<π，所以φ＝.

因此，g（x）＝2sin（2x＋）＝2cos 2x.

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，

所以函数y＝g（x）的单调递增区间为[kπ－,kπ]，k∈Z.

 

考点：平面向量，三角函数恒等变换，三角函数的图象