Question

在△ABC中，角A、B、C的㈱对边分别为a，b，c，且满足2acosC=2b+c．
（1）求角A；
（2）若sinBsinC=

1

4

，且b=4，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，代入已知等式整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由A的度数求出B+C的度数，用B表示出C代入已知等式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出B的度数，进而确定出C的度数，求出c的值，利用三角形面积公式求出S即可．

解答： 解：（1）由余弦定理，得2a•

a2+b2-c2

2ab

=2b+c，
化简得b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=120°；
（Ⅱ）∵A=120°，
∴B+C=60°，
∵sinBsinC=sinBsin（60°-B）
=sinB（

3

2

cosB-

1

2

sinB）
=

3

2

sinBcosB-

1

2

sin²B
=

3

4

sin2B-

1

4

（1-cos2B）
=

1

2

（

3

2

sin2B+

1

2

cos2B）
=

1

2

sin（2B+30°）-

1

4

，
∴

1

2

sin（2B+30°）-

1

4

=

1

4

，即sin（2B+30°）=1，
∵0＜B＜60°，
∴30°＜2B+30°＜150°，
∴2B+30°=90°，即B=30°，
∴C=30°，
∴c=b=4，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×4×sin120°=4

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．