Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，F是线段BC的中点
（1）证明：PF⊥FD；
（2）若PB与平面ABCD所成的角为45^o，求点A到平面PFD 距离．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明PF⊥PD．
（2）求出平面PDF的法向量，利用向量法能求出点A到平面PFD 距离．

解答 证明：（1）∵四棱锥P-ABCD中，
底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，
F是线段BC的中点，
∴以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角系，
设PB=t，则P（0，0，t），
F（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PF}$=（1，1，-t），
$\overrightarrow{FD}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{FD}$=-1+1+0=0，
∴PF⊥PD．
解：（2）∵PB与平面ABCD所成的角为45^o，
∴PA=AB=1，
∴A（0，0，0），P（0，0，1），F（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PF}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-1），
设平面PDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∴点A到平面PFD 距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，考查空间想象能力，是中档题．