Question

设F₁、F₂是双曲线x2-

y2

3

=1的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF₁|=4|PF₂|，则△PF₁F₂的面积等于

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件，结合双曲线的性质，能求出|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|的长，由此能求出△PF₁F₂的面积．

解答： 解：∵3|PF₁|=4|PF₂|，
∴设|PF₁|=4k，|PF₂|=3k，k＞0，
∵P为双曲线x2-

y2

3

=1上的一点，F₁，F₂是双曲线的两个焦点，
则由双曲线的定义，知：4k-3k=2，解得k=2，
∴|PF₁|=8，|PF₂|=6，
∵|F₁F₂|=4，
∴cos∠F₁PF₂=

64+36-16

2×8×6

=

7

8

，
∴sin∠F₁PF₂=

15

8

，
∴△PF₁F₂的面积等于

1

2

×8×6×

15

8

=3

15

．
故答案为：3

15

．

点评：本题考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．