已知椭圆C:+=1(a>b>0).
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程.
(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
(3)过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.
(1) +y2=1 (2) k∈(-2,-)∪(,2) (3) +=1
【解析】(1)由已知2a=4,∴a=2,
又e==,∴c=.
因此,b2=a2-c2=4-3=1,
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)显然直线x=0不满足题设条件,
可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y得(1+4k2)x2+16kx+12=0.
∵Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,
∴k∈(-∞,-)∪(,+∞) ①
又x1+x2=,x1x2=,
由0°<∠AOB<90°⇒·>0,
∴·=x1x2+y1y2>0,
所以·=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4,
∴-2<k<2 ②
由①②得k∈(-2,-)∪(,2).
(3)由椭圆的对称性可知PQSR是菱形,原点O到各边的距离相等.
当P在y轴上,Q在x轴上时,直线PQ的方程为+=1,由d=1得+=1,
当P不在y轴上时,设直线PS的斜率为k,P(x1,kx1),则直线RQ的斜率为-,Q(x2,-x2),
由得=+ ①
同理=+ ②
在Rt△OPQ中,由d·|PQ|=|OP|·|OQ|,
即|PQ|2=|OP|2·|OQ|2.
所以(x1-x2)2+(kx1+)2
=[+(kx1)2]·[+()2],
化简得+=1+k2,
k2(+)++=1+k2,
即+=1.
综上,+=1.
【方法技巧】平面向量在平面解析几何中的应用
平面向量作为数学解题的工具,常与平面解析几何结合综合考查,主要涉及向量的数量积、夹角、长度、距离等方面的知识,应用方向主要是平面内点的坐标与对应向量数量积的转化,通过数量积运算寻找等量关系,使问题转化,从而使问题获解.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业六十九第十章第六节练习卷(解析版) 题型:选择题
已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业八十选修4-5第二节练习卷(解析版) 题型:解答题
已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M.
(1)求M.
(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十第八章第一节练习卷(解析版) 题型:填空题
经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为 .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十第八章第一节练习卷(解析版) 题型:选择题
已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB中点,N为AC中点,则直线MN的方程为( )
(A)2x+y-8=0 (B)2x-y+8=0
(C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十四第八章第五节练习卷(解析版) 题型:填空题
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为 .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十六第八章第七节练习卷(解析版) 题型:解答题
如图,椭圆C:+=1的焦点在x轴上,左右顶点分别为A1,A,上顶点为B,抛物线C1,C2分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C1与C2相交于直线y=x上一点P.
(1)求椭圆C及抛物线C1,C2的方程.
(2)若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M,N,已知点Q(-,0),求·的最小值.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十八第八章第九节练习卷(解析版) 题型:填空题
设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为 .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十九第八章第十节练习卷(解析版) 题型:解答题
给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l1,l2使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;
②求证:|MN|为定值.
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