精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

如图,椭圆C:+=1的焦点在x轴上,左右顶点分别为A1,A,上顶点为B,抛物线C1,C2分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C1C2相交于直线y=x上一点P.

(1)求椭圆C及抛物线C1,C2的方程.

(2)若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M,N,已知点Q(-,0),·的最小值.

 

(1) 椭圆C:+=1 C1:y2=16x C2:x2=4y (2)

【解析】(1)由题意A(a,0),B(0,),设抛物线C1的方程为y2=4ax,抛物线C2的方程为x2=4y,P(8,8),∴椭圆C:+=1.

抛物线C1:y2=16x,

抛物线C2:x2=4y.

(2)(1)得直线OP的斜率为,

∴直线l的斜率k=-,

设直线l:y=-x+b,

消去y,

5x2-8bx+8b2-16=0.

∵动直线l与椭圆C交于不同的两点,

∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0.

-<b<.

M(x1,y1),N(x2,y2),

x1+x2=,x1x2=.

y1y2=(-x1+b)(-x2+b)

=x1x2-(x1+x2)+b2=.

=(x1+,y1),=(x2+,y2),

·=(x1+)(x2+)+y1y2

=x1x2+(x1+x2)+2+y1y2

=,

-<b<,

∴当b=-,·取得最小值,其最小值为

×(-)2+×(-)-=-.

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业六十七第十章第四节练习卷(解析版) 题型:选择题

给出以下三个命题:

①将一枚硬币抛掷两次,记事件A:两次都出现正面,事件B:两次都出现反面,则事件A与事件B是对立事件;②在命题①中,事件A与事件B是互斥事件;③在10件产品中有3件是次品,从中任取3,记事件A:所取3件中最多有2件是次品,事件B:所取3件中至少有2件是次品,则事件A与事件B是互斥事件.其中真命题的个数是(  )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业八十一选修4-5第三节练习卷(解析版) 题型:解答题

已知实数a,b,c满足a+b+c=2,a2+2b2+c2的最小值.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十四第八章第五节练习卷(解析版) 题型:解答题

已知椭圆C:+=1(a>b>0).

(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程.

(2)(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.

(3)过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1a,b满足的条件.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十四第八章第五节练习卷(解析版) 题型:选择题

如图,已知点B是椭圆+=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,B作斜率为1的直线交椭圆于点M,Py轴上,PMx,·=9,若点P的坐标为(0,t),t的取值范围是(  )

(A)0<t<3 (B)0<t3

(C)0<t< (D)0<t

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十六第八章第七节练习卷(解析版) 题型:填空题

以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为_________.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十六第八章第七节练习卷(解析版) 题型:选择题

设抛物线y2=8x上一点Py轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(  )

(A)4 (B)6 (C)8 (D)12

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十五第八章第六节练习卷(解析版) 题型:解答题

已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).

(1)求双曲线的方程.

(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.

(3)求△F1MF2的面积.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十三第八章第四节练习卷(解析版) 题型:解答题

已知☉O:x2+y2=1和定点A(2,1),由☉O外一点P(a,b)向☉O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.

(1)求实数a,b间满足的等量关系.

(2)求线段PQ长的最小值.

(3)若以P为圆心所作的☉P与☉O有公共点,试求半径取最小值时☉P的方程.

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案