Question

11．已知f（x）=sin（2x+φ），若${∫}_{0}^{\frac{2π}{3}}$f（x）dx=0，则函数f（x）图象的一条对称轴直线是（　　）

• A． $x=\frac{π}{3}$
• B． $x=\frac{2π}{3}$
• C． $x=\frac{5π}{12}$
• D． $x=\frac{7π}{12}$

Answer 1

分析 利用${∫}_{0}^{\frac{2π}{3}}$ f（x）dx=0，求出φ值，然后找出使三角函数f（x）取得最值的x即可．

解答 解：f（x）=sin（2x+φ），若${∫}_{0}^{\frac{2π}{3}}$f（x）dx=-$\frac{1}{2}$cos（2x+φ）${|}_{0}^{\frac{2π}{3}}$=-$\frac{1}{2}$cos（$\frac{4π}{3}$+φ）+$\frac{1}{2}$cosφ=0，
∴tanφ=$\sqrt{3}$，解得φ=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z．
令2x+φ=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z，可得x=$\frac{1}{2}$（n-k）π+$\frac{π}{12}$，
则函数f（x）图象的对称轴方程是x=$\frac{1}{2}$（n-k）π+$\frac{π}{12}$，
故选：D．

点评 本题主要考查定积分，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．