Question

已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=t-3 y= 3 t

，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）应用代入法，将t=x+3代入y=

3

t，即可得到直线l的普通方程；将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入曲线C的极坐标方程，即得曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）由圆的参数方程设出点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，根据点到直线的距离公式得到d的式子，并应用三角函数的两角和的余弦公式，以及三角函数的值域化简，即可得到d的范围．

解答： 解：（I）将t=x+3代入y=

3

t，得直线l的普通方程为：

3

x-y+3

3

=0；
曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入即得曲线C的直角坐标方程：（x-2）²+y²=1------------------（4分）
（II）设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），则d=

| 3 (2+cosθ)-sinθ+3 3 |

2

=

|2cos(θ+ π 6 )+5 3 |

2

所以d的取值范围是[

5 3 -2

2

，

5 3 +2

2

]．--------------------------------（10分）

点评：本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，同时考查圆上一点到直线的距离的最值，本题也可利用圆上一点到直线的距离的最大（最小）是圆心到直线的距离加半径（减半径）．