Question

2．已知函数y=x³-3x在区间[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是a=$\sqrt{3}$-1或0．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，求出最大值和最小值，得到关于a的方程，解出即可．

解答 解：y′=f′（x）=3（x+1）（x-1），
∴函数在在（-∞，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
①a=0时，函数在[0，1]递减，
函数的最大值是f（0）=0，函数的最小值是f（1）=-2，
∴f（0）-f（1）=0-（-2）=2，
故a=0符合题意；
②0＜a＜1时，1＜a+1＜2，
∴函数在[a，1）递减，在（1，a+1]递增，
函数的最小值是f（1）=-2，
由f（a）=f（a+1），
得3a²+3a-2=0，解得：a=$\frac{\sqrt{33}-3}{6}$，
（i）∴0≤a＜$\frac{\sqrt{33}-3}{6}$时，f（x）的最大值是f（a），
∴a³-3a-（-2）=2，解得a=0或$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$，不合题意，舍，
（ii）$\frac{\sqrt{33}-3}{6}$≤a＜1时，f（x）的最大值是f（a+1），
∴（a+1）³-3（a+1）-（-2）=2，解得a=$\sqrt{3}$-1，符合题意，
③a≥1时，f（x）在[a，a+1]递增，
∴f（x）_min=f（a），f（x）_max=f（a+1），
∴（a+1）³-3（a+1）-a³+3a=2，
解得：a=$\frac{\sqrt{57}-3}{6}$＜1，舍，
综上：a=$\sqrt{3}$-1或0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．