Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，讨论的单调性；

（Ⅲ）是否存在实数，对任意，且有恒成立？

若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）当时，求得函数的导数，得到，进而可求解切线的方程；

（Ⅱ）就得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调性，得到单调区间；

（Ⅲ）由题意，不妨设，由题意，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.

（Ⅰ）

，

所以所求的切线方程为

（Ⅱ）函数的定义域为，

①当时，在上单调递增．

②当时，在时，单调递增；

在时，单调递减；

在时，单调递增；

③当时，在时，单调递增；

在时，单调递减；

在时，单调递增.

（Ⅲ）假设存在这样的实数，满足条件，不妨设，

由知，，

令，则函数在上单调递减．

所以

所以，故存在这样的实数，满足题意，其取值范围为．