Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用S_n+1-S_n可知a_n+1=2（n+1）+1，通过a₁=S₁=3满足上式，进而即得结论；
（2）通过S_n=n²+2n，裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=n²+2n，
∴S_n+1=（n+1）²+2（n+1），
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=[（n+1）²+2（n+1）]-（n²+2n）
=2（n+1）+1，
又∵a₁=S₁=1+2=3满足上式，
∴a_n=2n+1；
（2）∵S_n=n²+2n，
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．