Question

19．已知曲线C的极坐标方程为4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系；
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
（II）设P（3cosθ，2sinθ），代入3x+4y=$\sqrt{145}$sin（θ+φ），利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36得4x²+9y²=36，
化为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），
则3x+4y=$9cosθ+8sinθ=\sqrt{145}sin（θ+φ）$，
∵θ∈R，∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为$\sqrt{145}$．

点评 本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．