Question

7．设z=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i（i是虚数单位），求z+2z²+3z³+4z⁴+5z⁵+6z⁶．

Answer 1

分析 设S=z+2z²+3z³+4z⁴+5z⁵+6z⁶，zS=z²+2z³+3z⁴+4z⁵+5z⁶+6z⁷，两式相减利用等比数列的前n项和公式及其复数的运算法则即可得出．

解答 解：设S=z+2z²+3z³+4z⁴+5z⁵+6z⁶，zS=z²+2z³+3z⁴+4z⁵+5z⁶+6z⁷，
两式相减得（1-z）S=z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶-6z⁷=$\frac{z（1-{z}^{6}）}{1-z}$-6z⁷，
∴S=$\frac{z（1-{z}^{6}）}{1-z}$-$\frac{6{z}^{7}}{1-z}$，
∵z=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，故z⁶=1．
S=-$\frac{6z}{1-z}$=-6•$\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=-6$（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}$=-6$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=3-3$\sqrt{3}$i．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式及其复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．