Question

已知抛物线C₁：x²=2py（p＞0），圆C₂：x²+y²-8y+12=0的圆心M到抛物线C₁的准线的距离为

9

2

，点P是抛物线C₁上一点，过点P，M的直线交抛物线C₁于另一点Q，且|PM|=2|MQ|，过点P作圆C₂的两条切线，切点为A、B．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程； 
（Ⅱ）求直线PQ的方程及

PA

•

PB

的值．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出4+

p

2

=

9

2

，由此能求出抛物线C₁的方程．
（Ⅱ）设PQ的方程：y=kx+4，由

y=kx+4 x2=2y

，得x²-2kx-8=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线PQ的方程及

PA

•

PB

的值．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）C2：x2+(y-4)2=4，∴M（0，4），…（1分）
抛物线C1：x2=2py的准线方程是y=-

p

2

，
依题意：4+

p

2

=

9

2

，∴p=1，…（3分）
∴抛物线C₁的方程为：x²=2y．…（4分）
（Ⅱ）设PQ的方程：y=kx+4，
由

y=kx+4 x2=2y

，得x²-2kx-8=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则

PM

=(-x1，4-y1)，

MQ

=(x2，y2-4)，
∵|PM|=2|MQ|，∴

PM

=2

MQ

，∴-x₁=2x₂，…①
又x₁+x₂=2k，…②，x₁x₂=-8，…③，
由①②③得k=±1，
∴PQ的方程为：y=±x+4．…（9分）
取PQ的方程：y=x+4，和抛物线x²=2y，联立得P点坐标为P（4，8）
∴|

PM

|=4

2

，连接AM，BM，|

PA

|=|

PB

|=

PM2-PA2

=2

7

，
设∠APM=α，则sinα=

AM

PM

=

2

4 2

=

2

4

，…（11分）
∴

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|cos2α
=28（1-2sin²α）=21．…（13分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．