Question

设f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为π，且对任意实数x都有|f（x）|≤f（

π

4

），则（　　）

• A、f（x）在（0，

  π

  2

  ）上单调递减
• B、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）上单调递减
• C、f（x）在（0，

  3

  2

  ）上单调递增
• D、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）上单调递增

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据f（x）=

2

sin（ωx+φ+

π

4

）的最小正周期为π，求得ω=2．再根据|f（x）|≤f（

π

4

），可得2×

π

4

+φ+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z，由此求得φ 的值，可得f（x）的解析式，从而得出结论．

解答： 解：∵f（x）=sin（wx+φ）+cos（ωx+φ）=

2

sin（ωx+φ+

π

4

）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为π，
∴

2π

ω

=π，求得ω=2．
再根据|f（x）|≤f（

π

4

），可得当x=

π

4

时，函数取得最大值，
∴2×

π

4

+φ+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z，又|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

4

，故有f（x）=

2

sin2x．
故f（x）在（

π

4

，

3π

4

）上单调递减，
故选：B．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性，属于中档题．