Question

已知

a

=（1，

3

），

b

=（sinx，cosx），且函数f（x）=

a

•

b

（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：综合题,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质，可求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
（3）利用正弦函数的性质，可求函数f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）因为

a

=（1，

3

），

b

=（sinx，cosx），
所以f(x)=

a

•

b

=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
所以函数f（x）的最小正周期是T=2π．…（7分）
（2）函数f（x）的最大值是2，取得最大值时自变量x的集合是{x|x=2kπ+

π

6

，k∈Z}．…（10分）
（3）由x+

π

3

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，可得函数f（x）的单调递增区间是[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

](k∈Z)．…（13分）

点评：本题以向量为载体，考查三角函数知识，正确化简函数的关键．