Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=

3

，∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的正切值大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：方法一：（1）根据已知条件，利用正弦定理能求出∠ACB=30°，从而得到AB⊥平面ACC₁A₁．由此能证明AB⊥A₁C．
（2）作AD⊥A₁C交A₁C于D点，连接BD．由已知条件推导出∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角．由此能求出二面角A-A₁C-B的正切值．
法二：（1）根据已知条件，由正弦定理得∠ACB=30°，从而得到AB⊥AC，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能证明AB⊥A₁C．
（2）分别求出平面AA₁C₁C的法向量和平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁C-B的正切值．

解答： 解法一：
（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AB⊥AA₁．
在△ABC中，AB=1，AC=

3

，∠ABC=60°．
由正弦定理得

1

sin∠ACB

=

3

sin60°

，
∴sin∠ACB=

1

2

，∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC₁A₁．
又A₁C?平面ACC₁A₁，∴AB⊥A₁C．
（2）如图，作AD⊥A₁C交A₁C于D点，连接BD．
又AB⊥A₁C，∴A₁C⊥平面ABD，
∴BD⊥A₁C，∴∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角．
在Rt△AA₁C中，
AD=

AA1•AC

A1C

=

3 × 3

6

=

6

2

．
在Rt△BAD中，tan∠ADB=

AB

AD

=

6

3

，
∴二面角A-A₁C-B的正切值为

6

3

．
解法二：
（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．
在△ABC中，AB=1，AC=

3

，∠ABC=60°．
由正弦定理得∠ACB=30°，∴∠BAC=90°，
即AB⊥AC．如图，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0），A₁（0，0，

3

），
∴

AB

=（1，0，0），

A1C

=（0，

3

，-

3

）．
∵

AB

•

A1C

=1×0+0×

3

+0×（-

3

）=0，
∴AB⊥A₁C．
（2）取

m

=

AB

=（1，0，0）为平面AA₁C₁C的法向量．
设平面A₁BC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BC =-x+ 3 y=0 n • A1C = 3 y- 3 z=0

，
∴x=

3

y，y=z．令y=1，则

n

=（

3

，1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

3 ×1+1×0+1×0

5 • 1

=

15

5

，
∴sin＜

m

，

n

＞=

1-( 15 5 )2

=

10

5

，
∴tan＜m，n＞=

6

3

，∴二面角A-A₁C-B的正切值为

6

3

．

点评：本题考查异面直线的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．