Question

19．在△ABC中，AB⊥AC，AB=$\frac{1}{t}$，AC=t，P是△ABC所在平面内一点，若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{4\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则△PBC面积的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，由向量的坐标运算得出P的坐标，
利用基本不等式求得△PBC面积的最小值．

解答 解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0），B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{4\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=（4，0）+（0，1）=（4，1），
∴P（4，1）；
又|BC|=$\sqrt{{t}^{2}{+（\frac{1}{t}）}^{2}}$，BC的方程为tx+$\frac{y}{t}$=1，
∴点P到直线BC的距离为d=$\frac{|4t+\frac{1}{t}-1|}{\sqrt{{t}^{2}{+（\frac{1}{t}）}^{2}}}$，
∴△PBC的面积为
S=$\frac{1}{2}$•|BC|•d
=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{{t}^{2}{+（\frac{1}{t}）}^{2}}$•$\frac{|4t+\frac{1}{t}-1|}{\sqrt{{t}^{2}{+（\frac{1}{t}）}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$|4t+$\frac{1}{t}$-1|≥$\frac{1}{2}$•|2$\sqrt{4t•\frac{1}{t}}$-1|=$\frac{3}{2}$，
当且仅当4t=$\frac{1}{t}$，即t=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴△PBC面积的最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算以及函数的最值和基本不等式的运用问题，是中档题．