Question

已知函数f（x）=

( 1 2 )x-1，  (x≤0) -x2+2x， (x＞0)

，对于下列命题：
①函数f（x）的最小值为0；
②函数f（x）在R上是单调递减函数；
③若f（x）＞1，则x＜-1；  
④若函数y=f（x）-a有三个零点，则a的取值范围是0＜a＜1．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：阅读型,数形结合,函数的性质及应用

分析：画出函数f（x）的图象，通过图象观察得到①函数f（x）无最大值和最小值，即可判断；②通过图象观察函数有增有减，即可判断②；③通过图象得到（

1

2

）^x-1＞1，由指数不等式的解法，得到x的解即可判断；④通过图象观察直线y=a与曲线有三个交点，即可得到a的取值范围．

解答： 解：画出函数f（x）的图象，通过图象观察得到：
①函数f（x）无最大值和最小值，故①错；
②函数的增区间为（0，1），减区间为（-∞，0），（1，+∞）
故②错；
③若f（x）＞1，则（

1

2

）^x-1＞1，得到x＜-1．故③正确；
④若函数y=f（x）-a有三个零点，则作出y=a，如图得到
0＜a＜1．故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查分段函数的图象及应用，考查函数的单调性和应用，考查指数不等式的解法，同时考查数形结合的思想方法，属于基础题．