Question

13．已知数列{a_n}是等比数列，数列{b_n}是等差数列，若a₁•a₅•a₉=-8，b₂+b₅+b₈=6π，则$cos\frac{{{b_4}+{b_6}}}{{1-{a_3}•{a_7}}}$的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由等比数列和等差数列的性质可知：a₅=-2，b₅=2π，$cos\frac{{{b_4}+{b_6}}}{{1-{a_3}•{a_7}}}$=cos$\frac{2{b}_{5}}{1-{a}_{5}^{2}}$=cos（-$\frac{4π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$．

解答 解：由数列{a_n}是等比数列，由等比数列的性质可知：a₁•a₉=a₃•a₇=${a}_{5}^{2}$，
则a₁•a₅•a₉=-8，即${a}_{5}^{3}$=-8，
∴a₅=-2，
数列{b_n}是等差数列，由等差数列的性质可知：b₂+b₈=4+b₆=2b₅，
b₂+b₅+b₈=6π，即3b₅=6π，
b₅=2π，
∴$cos\frac{{{b_4}+{b_6}}}{{1-{a_3}•{a_7}}}$=cos$\frac{2{b}_{5}}{1-{a}_{5}^{2}}$=cos（-$\frac{4π}{3}$）=-cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
故选C．

点评 本题考查等比数列及等差数列的性质，考查特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题．