【题目】已知函数(
,
为自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,函数
在区间
上为增函数,求整数
的最大值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)求出,令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;;(2)由于函数
在区间
上为增函数,则其导函数
在
恒成立,再分离参数
得到
在
恒成立,此时问题变为求函数
在区间
上的最小值问题,利用导数研究其单调性,求出最小值即可得结果.
试题解析:(1)由得
当时,
,所以
在
上为增函数;
当时,
时,
,
时,
,
所以在
为减函数,在
为增函数,
(2)当时,
则
若在区间
上为增函数,则
在
上恒成立,即
在
上恒成立.
令,
;则
,
;
令,则
当时,
,则
在
单调递增
而,
所以函数在
只有一个零点,设为
,
即时,
,即
;
时,
,即
,
∴,
,有最小值
,
把代入上式可得
,
又因为,所以
,
又恒成立,所以
,又因为
为整数,所以
,
所以整数的最大值为
.
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【题目】“荆、荆、襄、宜七校联考”正在如期开展,组委会为了解各所学校学生的学情,欲从四地选取200人作样本开展调研.若来自荆州地区的考生有1000人,荆门地区的考生有2000人,襄阳地区的考生有3000人,宜昌地区的考生有2000人.为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有( )
①用分层抽样的方法分别抽取荆州地区学生25人、荆门地区学生50人、襄阳地区学生75人、宜昌地区学生50人;
②可采用简单随机抽样的方法从所有考生中选出200人开展调研;
③宜昌地区学生小刘被选中的概率为;
④襄阳地区学生小张被选中的概率为.
A. B.
C.
D.
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【题目】总体由编号为01,02,03,,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为( )
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
A. 05 B. 09 C. 07 D. 20
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【题目】已知抛物线,直线
与E交于A、B两点,且
,其中O为原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)点C坐标为,记直线CA、CB的斜率分别为
,证明:
为定值.
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【题目】(本小题满分12分)已知椭圆(
)的半焦距为
,原点
到经过两点
,
的直线的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)如图,是圆
的一条直径,若椭圆
经过
,
两点,求椭圆
的方程.
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【题目】已知椭圆:
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且过点
.过点
的直线
交椭圆
于
,
两点,
为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时直线
的方程.
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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
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