Question

20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在x=$\frac{π}{3}$时取得最大值2，若f（α）=$\frac{8}{5}$，且$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{5π}{6}$，则sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值为（　　）

• A． $\frac{12}{25}$
• B． -$\frac{12}{25}$
• C． $\frac{24}{25}$
• D． -$\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 由题意，相邻两条对称轴之间的距离为π，可得周期T=2π，求出ω，在x=$\frac{π}{3}$时取得最大值2，求出φ，利用f（α）=$\frac{8}{5}$，且$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{5π}{6}$，构造出sin（2α+$\frac{π}{3}$），根据和与差公式计算即可．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，0≤φ≤$\frac{π}{2}$），
∵相邻两条对称轴之间的距离为π，
∴周期T=2π，即$\frac{2π}{ω}$=2π，
∴ω=1．
那么f（x）=sin（x+φ）+1，
又∵x=$\frac{π}{3}$时取得最大值2，即sin（$\frac{π}{3}$+φ）+1=2，
可得：$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
0≤φ≤$\frac{π}{2}$
∴φ=$\frac{π}{6}$．
则f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，
由f（α）=$\frac{8}{5}$，即sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$
且$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{5π}{6}$，
则α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，π）
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{4}{5}$
那么：sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin2（α+$\frac{π}{6}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=-2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=$-\frac{24}{25}$．
故选D．

点评 本题给出正弦型三角函数的解析式求法，以及化简计算能力，利用了二倍角公式，属于中档题．