Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanC=2csinA．
（I） 求角C的大小；
（II） 求sinA+sinB的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据正弦定理和商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C的值．
（II）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinA+sinB=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），由范围$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．

解答 解：（I）∵2csinA=atanC，
∴由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC，
则2sinCsinA=sinA•$\frac{sinC}{cosC}$，
由sinCsinA≠0得，cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）则A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$-A，0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴sinA+sinB=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，sinA+sinB取得最大值$\sqrt{3}$，

点评 本题考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，求出C的大小是解决本题的关键，考查了转化思想和数形结合思想，属于基本知识的考查．