Question

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC．记AB=x米，四边形ABCD面积为S，则S的最大值为（　　）

• A、6
• B、6

  3

• C、8
• D、8

  2

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：综合题,导数的综合应用,解三角形

分析：在△ABD与△CBD中，分别利用余弦定理，即可确定cosA=

2

x

及x的取值范围；四边形ABCD的面积S=

1

2

（AB•AD+CB•CD）sinA=

(x2-4)(x2-14x+49)

，构建函数g（x）=（x²-4）（ x²-14x+49），x∈（2，5），求导函数，即可求得四边形ABCD面积的最大值．

解答： 解：AB=x米，则BC=x米，CD=5-x米，AD=9-x米，则有5-x＞0，即x＜5．
在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA．
同理，在△CBD中，BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosC． 
因为∠A和∠C互补，所以AB²+AD²-2AB•AD•cosA=CB²+CD²-2CB•CD•cosC=CB²+CD²+2CB•CD•cosA．
即x²+（9-x）²-2 x（9-x）cosA=x²+（5-x）²+2 x（5-x）cosA．
解得cosA=

2

x

．
由余弦的定义，有

2

x

＜1，则x＞2，故x∈（2，5）．　　   
四边形ABCD的面积S=

1

2

（AB•AD+CB•CD）sinA=

1

2

[x（5-x）+x（9-x）]

1-cos2A

=

(x2-4)(x2-14x+49)

．
记g（x）=（x²-4）（x²-14x+49），x∈（2，5）．
由g′（x）=2x（x²-14x+49）+（x²-4）（2 x-14）=2（x-7）（2 x²-7 x-4）=0，
∴x=4或x=7或x=-

1

2

．
∵x∈（2，5），∴x=4．                    
∴函数g（x）在区间（2，4）内单调递增，在区间（4，5）内单调递减．
因此g（x）的最大值为g（4）=12×9=108．
∴S的最大值为6

3

．
故选：B．

点评：本题考查函数解析式，考查余弦定理的运用，考查四边形面积的计算，考查利用导数求函数的最值，正确表示四边形的面积是关键．