Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，该椭圆的离心率为

2

2

，A是椭圆上一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为

1

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过F₂的直线l交椭圆于A、B两点，且满足△AOB的面积为

2

3

，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）首先，可以设F（c，0）（c＞0），根据e=

2

2

，得a=

2

c，然后根据AF₂⊥F₁F₂，得到A（c，±

2

2

c），
从而得到直线AF₁的方程为y=±

2

4

(x+c)，

2

x±y+

2

c=0，再结合O到直线AF₁的距离为

1

3

，得到

2 c

18

=

1

3

，从而解得a=

2

，b=c=1，从而得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ）首先，假设存在，然后，设直线的方程，建立面积关系式，然后，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）设F（c，0）（c＞0），根据e=

2

2

，得
a=

2

c，
∴b=c，
∵AF₂⊥F₁F₂，
∴A（c，±

2

2

c），
直线AF₁的方程为y=±

2

4

(x+c)，
∴

2

x±y+

2

c=0，
∵O到直线AF₁的距离为

1

3

，故

2 c

18

=

1

3

，
∴a=

2

，b=c=1，
∴椭圆的方程

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线l不垂直x轴时，设直线的方程为：y=k（x-1），
代入椭圆方程得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁•x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2|

2 2 1+k2

1+2k2

点O多直线l的距离为d=

|k|

1+k2

，
S△AOB=

2 |k| 1+k2

1+2k2

=

2

3

，
∴解得k²=1，k=±1，
∴直线l的方程为：x-y-1=0或x+y-1=0，
当直线l垂直于x轴时，不合题意，
∴直线l的方程为：x-y-1=0或x+y-1=0．

点评：本题重点考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．