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已知双曲线x2=1,过点A(2,1)的直线l与已知双曲线交于P1P2两点.
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程;
(2)过点B(1,1)能否作直线l′,使l′与已知双曲线交于两点Q1Q2,且B是线段Q1Q2的中点?请说明理由.
(1) 中点P的轨迹方程是2x2y2-4x+y=0.(2)见解析
(1)解法一:设点P1P2的坐标分别为(x1y1)、(x2y2),中点P的坐标为(x,y),则有x12=1,x22=1,两式相减,得
2(x1+x2)(x1x2)=(y1+y2)(y1y2).
x1x2,y≠0时,
x1+x2=2x,y1+y2=2y,
=.                                                                                                     ①
又由P1P2PA四点共线,
=.                                                                                                        ②
由①②得=,
即2x2y2-4x+y=0.
x1=x2时,x=2,y=0满足此方程,故中点P的轨迹方程是2x2y2-4x+y=0.
解法二:设点P1P2、中点P的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y),
直线l的方程为y=k(x-2)+1,将l方程代入双曲线x2=1中,
得(2-k2)x2+2k(2k-1)x+2k2-3=0,
x1+x2=,x1x2=,
y1+y2=k(x1+x2)+2-4k=.
于是             
y≠0时,由①②得k=.将其代入①,整理得2x2y2-4x+y=0.当l倾斜角为90°时,P点坐标为(2,0)仍满足此方程,故中点P的轨迹方程为2x2y2-4x+y=0.
(2)假设满足题设条件的直线l′存在,Q1Q2的坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),同(1)得2(x3+x4)(x3x4)=(y3+y4)(y3y4).
x3+x4=2,y3+y4=2,
=2(x3x4),
l′的斜率为2.
l′的直线方程为y-1=2(x-1),
y=2x-1.
∵方程组无解,与假设矛盾,
∴满足条件的直线l′不存在.
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