某公司为了准确地把握市场.做好产品生产计划.对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y之间的关系如表:x1234y12284256(Ⅰ)在图中画出表中数据的散点图,中的散点图拟合y与x的回归模型.并用相关系数加以说明,(Ⅲ)建立y关于x的回归方程.预测第5年的销售量约为多少?．附注:参考数据:$\sqrt{\sum {i=1}^4{{{}^2}}}� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y（单位：万件）之间的关系如表：

x	1	2	3	4
y	12	28	42	56

（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合y与x的回归模型，并用相关系数加以说明；
（Ⅲ）建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？．
附注：参考数据：$\sqrt{\sum_{i=1}^4{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}≈32.6$，$\sqrt{5}≈2.24$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=418}$．
参考公式：相关系数$r=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}}$，
回归方程$\widehaty=\widehata+\widehatbx$中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

分析（Ⅰ）在图中画出表中数据直接画出散点图；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合y与x的回归模型，计算y与x的相关系数近似为0.9996，说明y与x的线性相关程度相当，说明可以用线性回归模型拟合y与x的关系；
（Ⅲ）求出回归直线方程，然后求解第5年的销售量．

解答解：（Ⅰ）作出散点图如图：

（Ⅱ）由（Ⅰ）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：$\overline x=\frac{5}{2}$，$\overline y=\frac{69}{2}$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=418}$，$\sqrt{\sum_{i=1}^4{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}≈32.6$，$\sum_{i=1}^4{x_i^2}=30$，$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）=\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}-\overline x\sum_{i=1}^4{y_i}=418-\frac{5}{2}×138=73}$，$\sqrt{\sum_{i=1}^4{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}=\sqrt{\sum_{i=1}^4{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}=\sqrt{30-4×{{（\frac{5}{2}）}^2}}=\sqrt{5}≈2.24$，$r=\frac{{\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^4{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}\sum_{i=1}^4{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}}=\frac{73}{2.24×32.6}≈0.9996$．
∵y与x的相关系数近似为0.9996，说明y与x的线性相关程度相当大，
∴可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：$\overline x=\frac{5}{2}$，$\overline y=\frac{69}{2}$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=418}$，$\sum_{i=1}^4{x^2}=30$，$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x}{）^2}=5$，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}=\frac{73}{5}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=\frac{69}{2}-\frac{73}{5}×\frac{5}{2}=-2$，
故y关于x的回归直线方程为$\widehaty=\frac{73}{5}x-2$，
当x=5时，$\widehaty=\frac{73}{5}×5-2=71$，
所以第5年的销售量约为71万件．

点评本题考查回归直线方程的应用，散点图的画法，考查计算能力．

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	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
参会人数x（万人）	11	9	8	10	12
原材料t（袋）	28	23	20	25	29

（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（Ⅱ）若该店现有原材料12袋，据悉本次交易会大约有13万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？
（参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$））

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