Question

6．第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近5次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下数据：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
参会人数x（万人）	11	9	8	10	12
原材料t（袋）	28	23	20	25	29

（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（Ⅱ）若该店现有原材料12袋，据悉本次交易会大约有13万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？
（参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$））

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据表中数据求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，即可求出$\stackrel{∧}{b}$，在求出$\stackrel{∧}{a}$，可得线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）的线性回归方程，当x=12时，求出$\stackrel{∧}{y}$，减去12可得补充原材料的袋数．

解答 解：（Ⅰ）根据表中数据可得$\overline{x}$=$\frac{11+9+8+10+12}{5}=10$，$\overline{y}$=$\frac{28+23+20+25+29}{5}=25$．
则：$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=（1×3）+（-1）×（-2）+（-2）×（-5）+0+2×4=23．
$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=1+（-1）²+（-2）²+0+2²=10
由公式，得$\stackrel{∧}{b}$=2.3．
线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，代入可得$\stackrel{∧}{a}$=2．
∴y关于x的线性回归方程为：$\stackrel{∧}{y}$=2.3x+2．
（Ⅱ）由题意，当x=12时，可得出$\stackrel{∧}{y}$=31.9
故而31.9-12=19.9≈20袋．
所以，该店应至少再补充原材料20袋．

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题