Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2）^{2}，x≥0}\\{x+\frac{4}{x}+4，x＜0}\\{\;}\end{array}\right.$，则函数y=f（x）-$\frac{3}{4}$（x+1）的零点个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 求导分析分段函数在x≥0时的单调性，然后作出函数y=f（x）与y=$\frac{3}{4}$（x+1）的图象，数形结合得答案．

解答 解：当x≥0时，f（x）=x（x-2）²=x³-4x²+4x，f′（x）=3x²-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴当x∈[$0，\frac{2}{3}$）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（$\frac{2}{3}，2$）时，f′（x）＜0，
∴f（x）=x（x-2）²在[$0，\frac{2}{3}$），（2，+∞）上为增函数，在（$\frac{2}{3}，2$）上为减函数，
而f（0）=0，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{32}{27}$，f（2）=0，当x→+∞时，f（x）→+∞；
函数y=f（x）-$\frac{3}{4}$（x+1）的零点，就是方程f（x）-$\frac{3}{4}$（x+1）=0的根，也就是两个函数y=f（x）与y=$\frac{3}{4}$（x+1）的图象交点的横坐标．
作出两个函数的图象如图，

由图可知，函数y=f（x）-$\frac{3}{4}$（x+1）的零点个数为3个．
故选：B．

点评 本题考查函数零点判定定理，考查了利用导数一句话是的单调性，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．