Question

【题目】如图，四棱锥中侧面为等边三角形且垂直于底面，，，，是的中点.

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明四边形是平行四边形，可得，进而得证.

（2）首先取的中点，连接，根据题意易证底面， 再建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值.

（1）取的中点，连接，，

∵是的中点，∴，

又，∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

又不在平面内，在平面内，

∴平面.

（2）取的中点，连接.

因为，所以

又因为平面底面，所以底面.

分别以、所在的直线为轴和轴，以底面内的中垂线为轴

建立空间直角坐标系，

令，则，

因为是等边三角形，则，为的中点，，

则，，，

∴，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则，令，，

，令，故可取，

∴，

经检验，二面角的余弦值的大小为.