Question

11．在直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁=1．
（Ⅰ）求证：OC₁∥平面AB₁D₁
（Ⅱ）求证：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁
（Ⅲ）求三棱锥A₁-AB₁D₁的体积．

Answer 1

分析 （I）由直平行六面体的结构特征可知AO₁$\stackrel{∥}{=}$OC₁，于是OC₁∥平面AB₁D₁；
（II）由线面垂直的性质得AA₁⊥B₁D₁，由菱形的性质得A₁C₁⊥B₁D₁，故而B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，于是平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（III）以△A₁B₁D₁为棱锥的底面，AA₁为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 证明：（ I）设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁．
因为AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁
所以四边形AA₁C₁C是平行四边形．
所以A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC．
因为底面ABCD是菱形，
所以O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO．
所以四边形AOC₁O₁是平行四边形．
所以AO₁∥OC₁．
因为AO₁?平面AB₁D₁，OC₁?平面AB₁D₁
所以OC₁∥平面AB₁D₁．
（ II）因为AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以B₁D₁⊥AA₁．
因为底面ABCD是菱形，
所以B₁D₁⊥A₁C₁，又因为AA₁∩A₁C₁=A₁，
所以B₁D₁⊥平面ACC₁A₁．因为B₁D₁?平面AB₁D₁，
所以平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁．
（ III）由题意可知，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
所以AA₁为三棱锥A-A₁B₁D₁的高．
因为${V_{{A_1}-A{B_1}{D_1}}}={V_{A-{A_1}{B_1}{D_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}{D_1}}}•A{A_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．
所以三棱锥A₁-AB₁D₁的体积为$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．