Question

9．已知定义在R上的增函数y=f（x）满足f（x）+f（4-x）=0，若实数a、b满足不等式f（a）+f（b）≥0，则a²+b²的最小值是8．

Answer 1

分析 根据函数的单调性将不等式组进行转化，结合线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=-f（4-x），∴-f（x）=f（4-x），
∴f（a）+f（b）≥0可化为f（a）≥-f（b）=f（4-b），
又∵f（x）在R上单调递增，∴a≥4-b，即a+b-4≥0，
a²+b²表示点（0，0）到点（a，b）的距离平方，
∴a²+b²的最小值是点（0，0）到直线a+b-4＞0的距离平方$（\frac{-4}{\sqrt{2}}）^{2}=8$．
故答案为：8

点评 本题考查函数恒成立问题，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．