Question

如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），连接A₁B，A₁C，A₁D₁
（1）当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，求二面角B-A₁C-D的值；
（2）线段A₁C上是否存在一点P，使得A₁C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先根据最大值确定正方体，进一步根据法向量，及向量的数量积求出二面角．
（2）与（1）一样建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，向量共享的充要条件，进一步利用线面垂直的性质，求出分点坐标，进一步求出点P的位置．

解答： 解：将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），
则求得：AD=2-t
则：V=t（2-t）=-（t-1）²+1
当t=1时，V_max=1
即：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，长方体恰好是正方体．
所以：建立空间直角坐标系A-xyz．正方体的棱长为1．
由于AB₁⊥A₁B，BC⊥AB₁
所以：AB₁⊥平面BA₁C
所以：

AB1

可以看做是平面BA₁C的法向量．
所以：

AB1

=(1，0，1)
同理：利用线面垂直得到

AD1

可以看做是平面DA1C
所以：

AD1

=(0，1，1)
进一步求得：cos＜

AB1

AD1

＞=

AB1 • AD1

| AB1 || AD1 |

=

1

2

，
所以根据图形知：二面角B-A₁C-D的值为

2π

3

．
（2）建立空间直角坐标系A-xyz，则：C（t，2-t，0），A₁（0，0，1），B（t，0，0），
D（0，2-t，0）
所以：

A1C

=(t，2-t，-1)，

BD

=(-t，2-t，0)
假设在线段A₁C上存在一点P，使得A₁C⊥平面BPD，则设

A1P

=λ

PC

（λ＞0）
根据分点坐标公式：P（

λt

1+λ

，

λ(2-t)

1+λ

，

1

1+λ

)
求得：

BP

=(

λt

1+λ

-t，

λ(2-t)

1+λ

，

1

1+λ

)，
由于

BP

⊥

A1C

所以：-t²+λ（2-t）²-1=0①
同理利用：

BD

⊥

A1C

解得：-t²+（2-t）²=0②
所以：

-t2+λ(2-t)2-1=0 -t2+(2-t)2=0

解得：λ=1±

3

（负值舍去）
所以点P在

A1P

=(1+

3

)

PC

的位置．

点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，法向量，向量的数量积，分点坐标公式，向量的共线问题，属于中等题型．