Question

已知函数f(x)＝x²－1与函数g(x)＝alnx(a≠0)．

(1)若f(x)，g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线，求实数a的值；

(2)设F(x)＝f(x)－2g(x)，求函数F(x)的极值．

Answer 1

解　(1)因为f(1)＝0，g(1)＝0.

所以点(1,0)同时在函数f(x)，g(x)的图象上，

因为f(x)＝x²－1，g(x)＝alnx，

所以f′(x)＝2x，g′(x)＝.

由已知，得f′(1)＝g′(1)，所以2＝，即a＝2.

(2)因为F(x)＝f(x)－2g(x)＝x²－1－2alnx(x>0)．所以F′(x)＝2x－＝，

当a<0时，

因为x>0，且x²－a>0，所以F′(x)>0对x>0恒成立．

所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，F(x)无极值；

当a>0时，

令F′(x)＝0，解得x₁＝，x₂＝－(舍去)．

所以当x>0时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：

x	(0，)		(，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	递减	极小值	递增