Question

3．已知函数f（x）=ax²+2x-ln（x+1）（a为常数）
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转换为x∈[0，+∞）时，g（x）_max≤0，求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（-1，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x²+2x-ln（x+1），
∴f′（x）=-2x+2-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{1-{2x}^{2}}{x+1}$----------------------------------------------（2分）
由f′（x）＞0得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由f′（x）＜0，得：-1＜x＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴函数f（x）的单调增区间为（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
单调减区间为（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．------------------------------（4分）
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤x恒成立，
令g（x）=f（x）-x=ax²+x-ln（x+1），
问题转换为x∈[0，+∞）时，g（x）_max≤0，
∵$g'（x）=2ax+1-\frac{1}{1+x}=\frac{x[2ax+（2a+1）]}{x+1}$，
?当a=0时，$g'（x）=\frac{x}{x+1}≥0$，
∴g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，此时g（x）无最大值，故a=0不合题意．--------（6分）
?当a＞0时，令g'（x）=0解得，${x_1}=0，{x_2}=\frac{-（2a+1）}{2a}＜0$，
此时g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，此时无最大值，故a＞0不合题意．--------（8分）
?当a＜0时，令g'（x）=0解得，${x_1}=0，{x_2}=\frac{-（2a+1）}{2a}$，
当 $-\frac{1}{2}＜a＜0$时，${x_2}=\frac{-（2a+1）}{2a}＞0$，
而g（x）在[0，x₂）上单调递增，在在[x₂，+∞）上单调递减，
∴g（x）_max=g（x₂）=$a-\frac{1}{4a}-ln（-\frac{1}{2a}）=a-\frac{1}{4a}+ln（-2a）$，
令$ϕ（x）=x-\frac{1}{4x}+ln（-2x），x∈（-\frac{1}{2}，0）$，
则$ϕ'（x）=1+\frac{1}{{4{x^2}}}+\frac{1}{x}=\frac{{{{（2x+1）}^2}}}{{4{x^2}}}＞0$，
∴ϕ（x）在$x∈（-\frac{1}{2}，0）$上单调递增，
又$ϕ（-\frac{1}{e^3}）=-\frac{1}{e^3}+\frac{e^3}{4}-3ln2$，当e≈2.71时，e³≈19.9，
∴ϕ（x）在$x∈（-\frac{1}{2}，0）$小于或等于0不恒成立，
即g（x）_max≤0不恒成立，
故$-\frac{1}{2}＜a＜0$不合题意．
当$a≤-\frac{1}{2}$时，${x_2}=\frac{-（2a+1）}{2a}＜0$，
而此时g（x）在x∈[0，+∞）上单调递减，
∴g（x）_max=g（0）=0，符合题意．
综上可知，实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{2}]$．------------------------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．