Question

5．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：$\sum_{i=1}^{7}$y_i=9.32，$\sum_{i=1}^{7}$t_iy_i=40.17，$\sqrt{\sum_{i=1}^{7}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=0.55，$\sqrt{7}$≈2.646．
参考公式：相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{u}-\overline{y}）^{2}}}$，$\sum_{i=1}^{n}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=$\sum_{i=1}^{n}$t_iy_i-$\overline{y}$•$\sum_{i=1}^{n}$t_i-$\overline{t}$•$\sum_{i=1}^{n}$y_i+n$\overline{t}$•$\overline{y}$．
回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{a}$+$\stackrel{∧}{b}$t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{u}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；
（Ⅱ）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

解答 解：（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r=$\frac{40.17-4×9.32}{2\sqrt{7}×0.55}$≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系；（6分）
（Ⅱ）由$\overline{y}$=$\frac{9.32}{7}$≈1.331及（Ⅰ）得$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{2.89}{28}$≈0.103，（8分）
$\stackrel{∧}{a}$=1，331-0.103×4≈0.92．（9分）
∴y关于t的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=0.10t+0.92，
2016年对应的t值为9，故$\stackrel{∧}{y}$=0.10×9+0.92=1.82，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．（12分）

点评 本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．