Question

19．已知公差不为0的等差数列{a_n}的前三项和为12，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）设${b_n}={2^{a_n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由${b_n}={2^{a_n}}={2^{2n}}={4^n}$，得到数列{b_n}是以4为首项，4为公比的等比数列，由此能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 本小题满分13分）
解：（I）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
依题意有$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}+{a_3}=12\\{a_4}^2={a_2}{a_8}.\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=4\\{d^2}-{a_1}d=0.\end{array}\right.$
由d≠0，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ d=2.\end{array}\right.$
所以a_n=2n．…（7分）
（II）所以${b_n}={2^{a_n}}={2^{2n}}={4^n}$．
因为$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{4^{n+1}}}}{4^n}=4，{b_1}=4$，
所以数列{b_n}是以4为首项，4为公比的等比数列．
所以${S_n}=\frac{{4（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{4}{3}（{4^n}-1）$．…（13分）

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．