Question

14．当x∈（-$\frac{1}{2}$，1）时，不等式ax²-（a+1）x+1＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分①当a=0时，②当a＞0时，③当a＜0时三种情况，分别利用二次函数的性质，求得实数a的取值范围，综合可得结论．

解答 解：由题意可得不等式ax²-（a+1）x+1＞0的解集包含区间（-$\frac{1}{2}$，1）．
①当a=0时，不等式即x+1＞0，当x∈（-$\frac{1}{2}$，1）时，显然此不等式成立．
②当a＞0时，不等式即a（x-$\frac{1}{a}$）•（x-1）＞0，
由于f（x）=a（x-$\frac{1}{a}$）•（x-1）的图象开口向上，和x轴的交点的横坐标分别为1和$\frac{1}{a}$，
要使当x∈（-$\frac{1}{2}$，1）时，f（x）＞0恒成立，∴$\frac{1}{a}$≥1，∴0＜a≤1．
③当a＜0时，不等式即a（x-$\frac{1}{a}$）•（x-1）＞0，
由于f（x）=a（x-$\frac{1}{a}$）•（x-1）的图象开口向下，和x轴的交点的横坐标分别为1和$\frac{1}{a}$，
要使当x∈（-$\frac{1}{2}$，1）时，f（x）＞0恒成立，∴$\frac{1}{a}$≤-$\frac{1}{2}$，∴-2≤a＜0．
综上可得，-2≤a≤1．

点评 本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．