Question

5．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+2mx（m∈R）
（Ⅰ）当m=0时，求f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）是偶函数，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将m=0代入f（x），结合指数函数以及对数函数的性质求出函数的值域即可；
（Ⅱ）根据偶函数的定义计算f（-x）=f（x），由系数对应相等求出m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）m=0时，f（x）=log₄（4^x+1），
显然4^x+1＞0，故log₄（4^x+1）＞0，
故函数的值域是（0，+∞）；
（Ⅱ）若f（x）是偶函数，
则f（-x）=log₄（4^-x+1）-2mx=log₄（4^x+1）-（1+2m）x=log₄（4^x+1）+2mx，
故1+2m=-2m，解得：m=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查指数函数，对数函数的性质，是一道中档题．