Question

11．已知函数f（x）=3sin2x-2$\sqrt{3}{cos^2}$x，下列结论中错误的序号是③．
 ①函数f（x）的最小正周期为π
 ②函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称
 ③函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x-1的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到
 ④函数f（x）在区间$[{0_{\;}}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上是增函数．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：由函数f（x）=3sin2x-2$\sqrt{3}{cos^2}$x=3sin2x-2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$
=3sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）-$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$，
可得它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，故①正确；
令x=$\frac{π}{3}$，求得f（x）=$\sqrt{3}$，为函数的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，故②正确；
把g（x）=2sin2x-1的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的图象，故③错误；
在区间$[{0_{\;}}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，故函数f（x）在区间$[{0_{\;}}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上是增函数，故④正确，
故答案为：③．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．