Question

18．已知在△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sin2B}$．
（1）求证：∠A、∠B、∠C依次成等差数列；
（2）当b=4时，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sin2B}$，利用正弦定理，可得cosB=$\frac{1}{2}$，求出B，即可得出结论；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，求出ac≤16，即可求△ABC的面积的最大值．

解答 （1）证明：∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sin2B}$，
∴1=$\frac{1}{2cosB}$，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°，
∴A+C=120°，
∴A+C=2B，
∴∠A、∠B、∠C依次成等差数列；
（2）解：当b=4时，16=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤16，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．