Question

已知数列是等差数列，（）.

（Ⅰ）判断数列是否是等差数列，并说明理由；

（Ⅱ）如果，（为常数），试写出数列的通项公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列得前项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值.若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（Ⅰ）数列是等差数列；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）等差数列的证明一般是从定义出发，注意若用为常数，则需且；若用若用则为常数，则需.（Ⅱ）因为，所以求数列的通项公式，关键是先求出等差数列的通项公式，即求出，这样就必须建立关于的两个方程，求出，显然必须从条件提供的两个等式出发去求解，注意求解的技巧；（Ⅲ）关于等差数列前项和的最值问题，通常有两个思路，其一，从求和公式考虑，因为求和公式是关于的二次式，可以结合二次函数知识解决问题，但要注意数列自身的特点，即；其二，从通项考虑，看何时变号.此题从通项考虑比较好.

试题解析：（Ⅰ）设的公差为，则

数列是以为公差的等差数列.

（Ⅱ）

两式相减：

，

（Ⅲ）因为当且仅当时最大

有，，

即

由解得或；由解得或，

综合得或.

考点：等差数列的定义及求和、求通项.