Question

若点P，Q在抛物线y²=4x上，O是坐标原点，且

OP

•

OQ

=0．则直线PQ恒过的顶点的坐标是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出A，B的坐标，讨论直线斜率存在时，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由

OP

•

OQ

=0．得x₁x₂+y₁y₂=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得直线恒过（4，0）．

解答： 解：设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．
联立方程得：

y=kx+b y2=4x

，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0
则x₁x₂=

b2

k2

，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则y₁y₂=4•

b

k

，
又

OP

•

OQ

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
即

b2

k2

+

4b

k

=0，
解得b=0（舍去）或b=-4k，
故直线l的方程为：y=kx-k=k（x-4），故直线过定点（4，0），
故答案为：（4，0）．

点评：本题考查向量垂直的条件，同时考查直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，属于中档题．